Trouvez la première dérivée de \( y = x^x \) pour \( x > 0 \) avec toutes les étapes présentées.
Dérivée de \(x^{x}\) en détail
Remarque : La fonction \( y = x^{x} \) n'est ni une fonction puissance de la forme \( x^{k} \) ni une fonction exponentielle de la forme \( b^{x} \), et les formules connues de dérivation pour ces deux fonctions ne peuvent pas être appliquées directement. Nous devons trouver une autre méthode pour déterminer la première dérivée de la fonction donnée.
Étant donné :
\[ y = x^{x} \]Prenons le logarithme népérien (\( \ln \)) des deux côtés :
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]Utilisez la propriété des fonctions logarithmiques \( \ln A^{b} = b \ln A \) sur le côté droit :
\[ \ln y = x \ln x \]Dérivez les deux côtés par rapport à \( x \), en utilisant la règle de chaîne sur le côté gauche et la règle du produit sur la droite :
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \] \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]Simplifiez le côté droit :
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]Multipliez les deux côtés par \( y \) et substituez \( y = x^x \) :
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]Exercices et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Trouvez la première dérivée de :
- \( f(x) = x^{2x} \)
- \( g(x) = (\sin x)^{x} \)
- \( h(x) = (x^2 + 1)^{x} \)
Réponses aux exercices ci-dessus :
- \( f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \)
- \( g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \dfrac{x \cos x}{\sin x}\right) \)
- \( h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \)